Geometric Discretisations of General Relativity

Beschreibung

In der vorliegenden Dissertation werden zwei verschiedene Ansätze zur geometrischen Diskretisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie und daraus entwickelte numerische Verfahren untersucht. Unter einer geometrischen Diskretisierung verstehen wir dabei eine Methode, die nicht auf Koordinatensystemen aufbaut und somit die unphysikalischen Koordinatensingularitäten und damit zusammenhängende numerische Probleme vermeidet. In den hier vorzustellenden Fällen sind das Diskretisierungen, die auf der Cartan- Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie, und damit auf Differenzialformen basieren. Dabei besteht das Ziel darin, die Grundlagen der oben erwähnten numerischen Verfahren zu studieren. Es werden daher nicht die allgemeinen Lösungen der Theorie untersucht, sondern Raumzeiten mit speziellen Symmetrieeigenschaften. Besonders detailliert wird auf kugelsymmetrische Systeme eingegangen, aber auch Raumzeiten mit Translationssymmetrie werden behandelt. Für letztere diskutieren wir außerdem den Fall, dass zusätzlich ein lichtartiger Killingvektor existiert. Es wird gezeigt, dass die Geometrie dieser Raumzeiten im Wesentlichen durch Gleichungssysteme auf ein- bzw. zwei-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten bestimmt ist. Der Fall einer Kurve tritt dabei für Raumzeiten mit Translationssymmetrie auf, die einen lichtartigen Killingvektor besitzen, w¨ahrend dort bei Fehlen des lichtartigen Killingvektors sowie in kugelsymmetrischen Systemen die wesentliche Mannigfaltigkeit eine Fläche ist. Ist letzteres der Fall, zeigt sich, dass die zur Bestimmung der Geometrie benutzten Gleichungssysteme Redundanzen enthalten. Um ein numerisches Verfahren entwickeln zu können, müssen jedoch die redundanten Gleichungen identifiziert werden. Daher wird aufbauend auf dem Cartan-Kähler Theorem ein Verfahren entwickelt, das die Identifizierung erleichtert. Anschließend werden mit diskreten Differenzialformen und simplizialem Differenzialkalkül zwei Methoden zur Diskretisierung von Differenzialformen beschrieben. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Methode der diskreten Differenzialformen. Diese Methode wird genutzt, um für die oben erwähnten Lösungsklassen numerische Verfahren zu entwickeln. Es stellt sich heraus, dass die verschiedenen Schemata teilweise sehr unterschiedliches Verhalten aufweisen. Während in vielen Fällen die Resultate mit den zu erwartenden Werten gut übereinstimmen, wird auch ein Schema vorgestellt, das große Fehler liefert. Andere Verfahren liefern zwar gute Ergebnisse, sind aber nur unter bestimmten Bedingungen anwendbar. Um diese Einschränkungen zu beseitigen, wird in kugelsymmetrischen Raumzeiten ein weiteres Schema untersucht, das auf dem simplizialen Differenzialkalkül basiert. Wird es unter den gleichen Bedingungen wie das analoge Verfahren mit diskreten Differenzialformen angewandt, dann sind die Ergebnisse ähnlich. Sind diese Bedingungen nicht gegeben, dann sind die Abweichungen von den zu erwartenden Werten jedoch groß.

Autor*in

Ronny Richter

Themen in »Geometric Discretisations of General Relativity«

Cartan-Kähler Theorie Diskrete Differenzialformen Kruskal Raumzeit Relativitätstheorie

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