QUASI-SPECTRAL FINITE DIFFERENCE METHODS: CONVERGENCE ANALYSIS AND APPLICATION TO NONLINEAR OPTICAL PULSE PROPAGATION

Beschreibung

Die Dissertation „Quasi-spectral finite difference methods: Convergence analysis and application to nonlinear optical pulse propagation“ von Tristan Kremp befasst sich mit der Theorie und Anwendung von sogenannten quasi-spektralen finiten Differenzen. Im Gegensatz zu dem üblichen Taylor-Ansatz werden diese so konstruiert, dass sie für trigonometrische anstatt algebraische Polynome exakt sind. Bei fester Diskretisierungsschrittweite ermöglicht dies eine höhere Genauigkeit beispielsweise bei der Differentiation von Funktionen, deren Fourierspektrum Bandpasscharakter besitzt. In dieser Arbeit wird die Konvergenz solcher quasi-spektraler finiter Differenzen erstmals bewiesen. Es zeigt sich, dass die höchstmögliche Konvergenzordnung dieselbe ist wie beim Taylor-Ansatz, d.h. im Wesentlichen identisch mit der Anzahl der Summanden in der finiten Differenz. Diese Ordnung wird auch tatsächlich erreicht, insofern die betragsmäßig größte Frequenz, bei der die quasi-spektrale finite Differenz noch exakt ist, hinreichend schnell im Vergleich zur Diskretisierungsschrittweite gegen Null konvergiert. Jene Bedingung ist leicht zu berücksichtigen bei der Konstruktion der Differenzengewichte, die sowohl mittels spektraler Interpolation als auch gewichteter Fehlerquadrat-Minimierung erfolgen kann. Unter Verwendung bisher unbekannter Haar- bzw. Chebyshev-Systeme, die aus algebraischen und trigonometrischen Monomen bestehen, wird gezeigt, dass beide Konstruktionsmethoden äquivalent sind. Im Rahmen einer Semidiskretisierung werden diese finiten Differenzen erstmalig kombiniert mit exponentiellen Split-step-Integratoren, um lineare oder nichtlineare Evolutionsgleichungen effizient zu lösen. Dabei wird gezeigt, dass eine einfache Modifizierung die quadratische Konvergenz des üblichen symmetrischen Split-step-Integrators auch bei allgemeinen Nichtlinearitäten garantiert. Ein wichtiges Beispiel einer solchen partiellen Differentialgleichung ist die nichtlineare Schrödingergleichung (NLSE). Diese wird hier konsequent aus den Mawellgleichungen hergeleitet, ohne die in der Literatur üblichen Annahmen, dass die zweite Ortsableitung in Ausbreitungsrichtung vernachlässigbar ist und dass sich die Nichtlinearität bezüglich der Fouriertransformation wie eine Konstante verhält. Bei der Anwendung auf die Propagation praxisrelevanter Wellenlängen-Multiplex-Signale (WDM) in optischen Glasfasern zeigt sich im Vergleich zu anderen Semidiskretisierungsmethoden, wie beispielsweise finiten Elementen, Wavelet-Kollokationsverfahren sowie den von der Industrie vorwiegend eingesetzten Pseudo-Spektralmethoden (Split-step-Fouriermethode), dass die quasi-spektralen finiten Differenzen bei gleicher Genauigkeit erhebliche Rechenzeitgewinne ermöglichen.

Autor*in

Tristan Kremp

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