Quantum Mechanics meets the Riemann-Zeta Function

Beschreibung

Die Riemannsche Zetafunktion hat seit ihrer Definition durch Bernhard Riemann Mitte des 19. Jahrhunderts Generationen von Mathematikern fasziniert. Die Riemannsche Hypothese, daß alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der imaginären Achse bei 1/2 liegen sollen, gehört zu einem der großen ungelösten Probleme auf dem Gebiet der Mathematik. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, in wie weit sich die Zetafunktion mit Hilfe eines Quantensystems nachbilden läßt. Die Summendarstellung der Zetafunktion eignet sich dabei besonders wegen ihrer formalen Ähnlichkeit zu quantenmechanischen Zuständen, die als Summe von Basiszuständen geschrieben werden können. Es zeigt sich, daß die Autokorrelationsfunktion, das heißt, die Überlagerung eines bestimmten Zustandes ψ(0)⟩ zur Zeit t = 0 mit dem in der Zeit entwickelten Zustand ψ(t)⟩ genau die Funktionswerte von ζ(σ + it) liefert. Der geforderte Anfangszustand entspricht dabei dem thermischen Phasenzustand in einem Potential, dessen Energieeigenwerte eine logarithmische Verteilung aufweisen. Wir ermitteln mit einem semiklassischen Ansatz die Form, die ein solches Potential haben muß. Numerische Rechnungen zeigen jedoch, daß gerade am Ursprung dieses Potentials erhebliche Abweichungen zum geforderten logarithmischen Spektrum auftreten. In einem weiteren Schritt passen wir daher das semiklassische Resultat durch Variation des Potentials soweit an, daß wir exakt logarithmische Eigenwerte erhalten. Die gefundene Autokorrelationsfunktion ist jedoch nur gültig im regulären Bereich der Zetafunktion ζ(s) mit Res > 1. In diesem Bereich hat die Zetafunktion keine Nullstelle. Die analytische Fortsetzung mit Hilfe einer anderen Darstellung der Zetafunktion führt auf nicht-normierbare Zustände, so daß wir nur eine Näherungslösung finden konnten. In einem letzten Kapitel richten wir unsere Überlegungen nochmals auf Potentiale mit logarithmischem Spektrum. Hier finden wir eine elegante Möglichkeit, mithilfe eines zwei-Atom-Systems natürliche Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen.
Die Riemannsche Zetafunktion hat seit ihrer Definition durch Bernhard Riemann Mitte des 19. Jahrhunderts Generationen von Mathematikern fasziniert. Die Riemannsche Hypothese, daß alle nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion auf der imaginären Achse bei 1/2 liegen sollen, gehört zu einem der großen ungelösten Probleme auf dem Gebiet der Mathematik. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, in wie weit sich die Zetafunktion mit Hilfe eines Quantensystems nachbilden läßt. Die Summendarstellung der Zetafunktion eignet sich dabei besonders wegen ihrer formalen Ähnlichkeit zu quantenmechanischen Zuständen, die als Summe von Basiszuständen geschrieben werden können. Es zeigt sich, daß die Autokorrelationsfunktion, das heißt, die Überlagerung eines bestimmten Zustandes ψ(0)⟩ zur Zeit t = 0 mit dem in der Zeit entwickelten Zustand ψ(t)⟩ genau die Funktionswerte von ζ(σ + it) liefert. Der geforderte Anfangszustand entspricht dabei dem thermischen Phasenzustand in einem Potential, dessen Energieeigenwerte eine logarithmische Verteilung aufweisen. Wir ermitteln mit einem semiklassischen Ansatz die Form, die ein solches Potential haben muß. Numerische Rechnungen zeigen jedoch, daß gerade am Ursprung dieses Potentials erhebliche Abweichungen zum geforderten logarithmischen Spektrum auftreten. In einem weiteren Schritt passen wir daher das semiklassische Resultat durch Variation des Potentials soweit an, daß wir exakt logarithmische Eigenwerte erhalten. Die gefundene Autokorrelationsfunktion ist jedoch nur gültig im regulären Bereich der Zetafunktion ζ(s) mit Res > 1. In diesem Bereich hat die Zetafunktion keine Nullstelle. Die analytische Fortsetzung mit Hilfe einer anderen Darstellung der Zetafunktion führt auf nicht-normierbare Zustände, so daß wir nur eine Näherungslösung finden konnten. In einem letzten Kapitel richten wir unsere Überlegungen nochmals auf Potentiale mit logarithmischem Spektrum. Hier finden wir eine elegante Möglichkeit, mithilfe eines zwei-Atom-Systems natürliche Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen.

Autor*in

Rüdiger Mack

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