Automated Multilevel Substructuring for Nonlinear Eigenvalue Problems

Beschreibung

Bei der Analyse des Schwingungsverhaltens von mechanischen Strukturen ist man besonders an der Übertragungsfunktion im niederfrequenten Bereich interessiert. In der Strukturdynamik werden Systemantworten zu diesem Zweck mittels der Modenüberlagerungsmethode bestimmt. Hierfür ist es notwendig im niederfrequenten Bereich des Spektrums Eigenvektorapproximationen zu bestimmen. Neben den Krylovraumverfahren zur Bestimmung von einigen Eigenwerten und Vektoren für große dünn besetzte Eigenwertprobleme werden hierfür auch modale Kondensationsmethoden verwendet. Die Vorteile liegen in einer geringeren Berechnungszeit und einem deutlich geringeren Speicherplatzbedarf. Der wesentliche Nachteil ist, dass die Genauigkeitsanforderungen an Eigenwertapproximationen nicht allzu hoch sein dürfen. Üblicherweise sind jedoch die Modelle wie sie aus Finite Element Diskretisierungen stammen auch nicht genauer. Automated Multilevel Substructuring (AMLS) ist ein solches modales Kondensationsverfahren, welches 2001 von Bennighof und Lehoucq vorgestellt wurde. Es erweitert die Komponenten Moden Synthese um mehrstufige Substrukturierung und verbessert diese, indem auch auf den Rändern zwischen den Substrukturen eine modale Kondensation vorgenommen wird. Die Arbeit besteht im ersten Teil aus einer Untersuchung des Automated Multilevel Substructuring wie es von Bennighof und Lehoucq vorgestellt wurde, sowie darauf aufbauender Modifikationen und der Herleitung einer Fehlerschranke. Der zweite Teil behandelt Methoden zur Erweiterung des Verfahrens auf nichtlinear Eigenwertprobleme. Das wichtigste Ergebnis für den linearen Fall ist eine a-priori Schranke für den Fehler des Verfahrens bei der Kondensation, welche für das lineare symmetrisch positiv definite verallgemeinerte Eigenwertproblem bewiesen wird. Die Schranke wird soweit möglich auch auf Modifikationen von AMLS erweitert. Da die Substrukturierung für große Probleme einen wesentlichen Einfluss darauf hat, ob die Berechnung durchführbar ist und wie lange sie dauert, wurden verschiedene Partitionierungsstrategien untersucht und Verbesserungen implementiert. AMLS wurde für das lineare Eigenwertproblem entwickelt. Im zweiten Teil werden zwei Ansätze verfolgt, wie AMLS für das nichtlineare Eigenwertproblem (nichtlinear im Eigenparameter) erweitert werden kann. Im ersten Ansatz wird ein linearer Teil des Problems bestimmt, auf dem AMLS angewendet wird. Die dabei berechnete Projektion wird auf das Gesamtsystem angewendet und führt dabei zu einem kondensierten nichtlinearen Eigenwertproblem. Der zweite Ansatz beschränkt sich auf nichtlineare Eigenwertprobleme, welche eine min-max Charakterisierung der Eigenwerte besitzen. Die Idee ist es bei der modalen Kondensation, statt Eigenvektoren des linearen Eigenwertproblems, die Eigenvektoren des nichtlinearen Eigenwertproblems als Projektionsvektoren zu verwenden. Anhand von Beispielen aus verschiedenen Gebieten werden die nichtlinearen Ansätze untersucht und verglichen. Für die Arbeit wurde das Verfahren für lineare und nichtlineare Eigenwertaufgaben in Matlab und in C/C++ implementiert und parallelisiert.

Autor*in

Kolja Elssel

Themen in »Automated Multilevel Substructuring for Nonlinear Eigenvalue Problems«

AMLS eigenvalue eigenvector modal condensation nodal condensation nonlinear

Stimmen zu »Automated Multilevel Substructuring for Nonlinear Eigenvalue Problems«

Details

Link teilen