A variational problem leading to a singular elliptic equation involving the 1-Laplacian
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Beschreibung
In dieser Arbeit werden Minimierer des Funktionals F(u):. studiert. Es wird gezeigt, wie Unter- und Oberlösungen der zugehörigen Gleichung. definiert werden können, dass mit dieser Definition das Vergleichsprinzip und weitere aus der nichtlinearen Potentialtheorie bekannte Eigenschaften gelten, und dass diese Begriffe als Charakterisierung von Minimierern bezüglich lokalen Störungen verwendet werden können. Beispiele von solchen Minimierern werden gegeben, und eine Aussage zu Lipschitz-Regularität wird gezeigt. Schließlich werden zwei Randwertprobleme genauer untersucht: Null-Randwerte auf einem konvexen Gebiet (einfaches Problem) und konstante Werte auf dem inneren und auf dem äußeren Rand auf einem Gebiet, das die Differenz zweier konvexer Mengen ist (Ringproblem), mit a = 0. Mehrere Eigenschaften von Minimieren dieser Probleme in zwei Dimensionen werden gezeigt: Für das einfache Problem nehmen Minimierer ihr Maximum in einer Menge positiven Maßes an (ein Plateau), und diese Menge ist einfach zusammenhängend. Für das Ringproblem sind Minimierer quasikonkav, und außerhalb einer möglicherweise existierenden Menge, die den äußeren Rand berührt und wo die Minimierer konstant sind, sind sie glatt.
In dieser Arbeit werden Minimierer des Funktionals F(u):. studiert. Es wird gezeigt, wie Unter- und Oberlösungen der zugehörigen Gleichung. definiert werden können, dass mit dieser Definition das Vergleichsprinzip und weitere aus der nichtlinearen Potentialtheorie bekannte Eigenschaften gelten, und dass diese Begriffe als Charakterisierung von Minimierern bezüglich lokalen Störungen verwendet werden können. Beispiele von solchen Minimierern werden gegeben, und eine Aussage zu Lipschitz-Regularität wird gezeigt. Schließlich werden zwei Randwertprobleme genauer untersucht: Null-Randwerte auf einem konvexen Gebiet (einfaches Problem) und konstante Werte auf dem inneren und auf dem äußeren Rand auf einem Gebiet, das die Differenz zweier konvexer Mengen ist (Ringproblem), mit a = 0. Mehrere Eigenschaften von Minimieren dieser Probleme in zwei Dimensionen werden gezeigt: Für das einfache Problem nehmen Minimierer ihr Maximum in einer Menge positiven Maßes an (ein Plateau), und diese Menge ist einfach zusammenhängend. Für das Ringproblem sind Minimierer quasikonkav, und außerhalb einer möglicherweise existierenden Menge, die den äußeren Rand berührt und wo die Minimierer konstant sind, sind sie glatt.
Autor*in
Florian Krügel