Automorphe Formen mit Singularitäten auf dem hyperbolischen Raum

Beschreibung

In der Theorie der Modulformen spielen Liftungen, die Formen verschiedenen Typs aufeinander abbilden, eine fundamentale Rolle. Sie tragen zu einem besseren Verständnis bei, und beim Studium solcher Liftungen ergeben sich häufig bemerkenswerte Zusammenhänge zu anderen zahlentheoretischen Problemen. In dieser Arbeit werden mittels eines regularisierten getwisteten Thetalifts harmonische schwache Maaßformen zur Weildarstellung eines Gitters der Signatur (1,2) geliftet. Auf diese Weise werden automorphe Formen konstruiert, deren Singularitäten sich auf dem hyperbolischen Raum explizit angeben lassen. Die erhaltenen Formen werden im Sinne von Cheeger und Simons als ''differential characters'' interpretiert. Zudem lassen sie sich als lokal harmonische Maaßformen im Sinne von Bringmann, Kane und Kohnen auffassen. Ferner ergibt sich eine Beziehung zur wohlbekannten Shimura-Liftung, die sich über diesen Zugang neu interpretieren lässt. Schlüsselwörter: getwisteter Thetalift, Siegelsche Thetafunktion, unäre Thetafunktion, Shimura-Lift, harmonische schwache Maaßform, Weildarstellung, getwistete Zykel, Sprungsingularitäten, Wall crossing, Stromgleichung, differential character
In der Theorie der Modulformen spielen Liftungen, die Formen verschiedenen Typs aufeinander abbilden, eine fundamentale Rolle. Sie tragen zu einem besseren Verständnis bei, und beim Studium solcher Liftungen ergeben sich häufig bemerkenswerte Zusammenhänge zu anderen zahlentheoretischen Problemen. In dieser Arbeit werden mittels eines regularisierten getwisteten Thetalifts harmonische schwache Maaßformen zur Weildarstellung eines Gitters der Signatur (1,2) geliftet. Auf diese Weise werden automorphe Formen konstruiert, deren Singularitäten sich auf dem hyperbolischen Raum explizit angeben lassen. Die erhaltenen Formen werden im Sinne von Cheeger und Simons als ''differential characters'' interpretiert. Zudem lassen sie sich als lokal harmonische Maaßformen im Sinne von Bringmann, Kane und Kohnen auffassen. Ferner ergibt sich eine Beziehung zur wohlbekannten Shimura-Liftung, die sich über diesen Zugang neu interpretieren lässt. Schlüsselwörter: getwisteter Thetalift, Siegelsche Thetafunktion, unäre Thetafunktion, Shimura-Lift, harmonische schwache Maaßform, Weildarstellung, getwistete Zykel, Sprungsingularitäten, Wall crossing, Stromgleichung, differential character

Autor*in

Martin Hövel

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