Asymptotische Analysis
Zentrale Sätze und Anwendungen
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Beschreibung
Das Buch basiert auf einer Vorlesung zur asymptotischen Analysis, die der Autor mehrfach an der Universität Stuttgart gehalten hat. Es richtet sich dabei sowohl an Studierende, die asymptotische Methoden kennenlernen wollen, als auch an Anwender, die neue Impulse für ihre Arbeit suchen.
Nach einer kurzen Einführung asymptotischer Konzepte werden dabei insbesondere asymptotische Entwicklungen und das Rechnen mit asymptotischen Entwicklungen thematisiert. Standardtechniken zum Beweis asymptotischer Formeln, wie die Methode von Laplace und die Methode des steilsten Abstiegs zur Abschätzung von komplexen Kurvenintegralen, werden an Beispielen diskutiert.
Ein immer wiederkehrendes Motiv ist dabei der Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten einer Folge oder Funktion einerseits und analytischen Fortsetzungen eines über eine Transformation zugeordneten Objektes andererseits. Auf diese Weise werden Erzeugendenfunktionen thematisiert und genutzt, um Rekursionsgleichungen zu lösen.
Weiter wird die Theorie der Laplace- und Mellintransformation aufgebaut, um Differentialgleichungen zu verstehen und einfache Abelsche und Taubersche Sätze formulieren zu können. Anschließend werden Dirichletreihen zur Untersuchung zahlentheoretischer Funktionen und zum Beweis des Primzahlsatzes genutzt.
Ergänzend dazu werden in einem letzten Kapitel analytische Störungsresultate für Nullstellen von Polynomen sowie für Eigenwerte behandelt und Differentialgleichungen mit regulären und irregulären singulären Punkten diskutiert und das asymptische Verhalten von Lösungen in der Nähe dieser Punkte untersucht.
Der Autor
Jens Wirth hat an der TU Bergakademie Freiberg Angewandte Mathematik studiert und im Bereich der Analysis partieller Differentialgleichungen 2005 promoviert. Nach einer mehrjährigen Postdoc-Phase in London arbeitet er seit 2010 an der Universität Stuttgart am Institut für Analysis, Dynamik und Modellierung.
Das Buch basiert auf einer Vorlesung zur asymptotischen Analysis, die der Autor mehrfach an der Universität Stuttgart gehalten hat. Es richtet sich dabei sowohl an Studierende, die asymptotische Methoden kennenlernen wollen, als auch an Anwender, die neue Impulse für ihre Arbeit suchen.
Nach einer kurzen Einführung asymptotischer Konzepte werden dabei insbesondere asymptotische Entwicklungen und das Rechnen mit asymptotischen Entwicklungen thematisiert. Standardtechniken zum Beweis asymptotischer Formeln, wie die Methode von Laplace und die Methode des steilsten Abstiegs zur Abschätzung von komplexen Kurvenintegralen, werden an Beispielen diskutiert.
Ein immer wiederkehrendes Motiv ist dabei der Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten einer Folge oder Funktion einerseits und analytischen Fortsetzungen eines über eine Transformation zugeordneten Objektes andererseits. Auf diese Weise werden Erzeugendenfunktionen thematisiert und genutzt, um Rekursionsgleichungen zu lösen.
Weiter wird die Theorie der Laplace- und Mellintransformation aufgebaut, um Differentialgleichungen zu verstehen und einfache Abelsche und Taubersche Sätze formulieren zu können. Anschließend werden Dirichletreihen zur Untersuchung zahlentheoretischer Funktionen und zum Beweis des Primzahlsatzes genutzt.
Ergänzend dazu werden in einem letzten Kapitel analytische Störungsresultate für Nullstellen von Polynomen sowie für Eigenwerte behandelt und Differentialgleichungen mit regulären und irregulären singulären Punkten diskutiert und das asymptische Verhalten von Lösungen in der Nähe dieser Punkte untersucht.
Erläutert zugleich anschaulich und mathematisch exakt mit ausführlichen Rechnungen asymptotische Methoden Zeigt anhand der Stirling-Formel für n! , was das Besondere an asymptotischen Entwicklungen ist Zeigt die Wirkungsmacht von asymptotischen Entwicklungen für rekursive Folgen, spezielle Funktionen und Zahlentheorie
Autor*in
Jens Wirth
Themen in »Asymptotische Analysis«
Stirling-Formel Asymptotische Entwicklung Asymptotische Reihen Spezielle Funktionen Sattelpunkt-Methode Methode des steilsten Abstiegs Dirichlet-Reihen Analytische Störungstheorie