Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme

Beschreibung

Dieses Buch gibt eine Einführung in Theorie und Anwendungen von Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systemen für Studierende und Lehrende der Mathematik. Es wendet sich auch an Interessenten aus den Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften, die in ihrem Bereich mit der Lösung von Differenzengleichungen oder der Modellierung durch diskrete dynamische Systeme konfrontiert sind. Die erste Hälfte des Buches behandelt neben einführenden Grundbegriffen den Differenzenkalkül sowie detailliert die grundlegende Theorie linearer Systeme und Differenzengleichungen einschließlich ihrer Stabilitätseigenschaften. Die zweite Hälfte des Buches befaßt sich mit nichtlinearen diskreten dynamischen Systemen und Differenzengleichungen.. Hier werden Stabilitätskriterien mittels linearer Approximation und Lyapunov-Funktionen entwickelt und es wird ein kurzer Überblick über Chaos und Fraktale gegeben. Abschließend geht das Buch auf die neuere Theorie positiver nichtlinearer Systeme ein und behandelt Stabilitätseigenschaften konkaver Systeme und Differenzengleichungen nebst Anwendungen in der Biologie und in der Ökonomie. Das Buch enthält neben der grundlegenden mathematischen Theorie auch viele illustrierende Beispiele, Aufgaben und Anwendungen sowie fünf Computerprogramme in Turbo-Pascal, mit denen der Leser selbst Grafiken erstellen kann.
Dieses Buch befaßt sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich fließend, sondern in diskreten Zeit schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird häufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgänge zunächst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschließend wird dann gewöhnlich durch einen Grenzübergang, bei dem die Länge eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis senschaften, hat den großen Vorteil, daß sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste me anzapfen läßt. Ein Nachteil liegt jedoch darin, daß für eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Überprüfung, das kontinuierliche Modell wie der in ein diskretes Modell zurückverwandelt werden muß. Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusätzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati schen Übersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgänge im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und derÖkonomie seit jeher gebräuchlicher als z. B. in der Physik.

Autor*in

Ulrich Krause

Themen in »Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme«

Differenzengleichung Differenzenkalkül Dynamisches System Ingenieur Lineare Unabhängigkeit Mathematik Mittelwertsatz Modellierung Satz von Rolle Stabilität Stabilitätstheorie Summenoperator Systeme Z-Transformation dynamische Systeme

Stimmen zu »Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme«

"Das Buch empfiehlt sich als schlanker, angenehm geschriebener Zugang zu wesentlichen Bereichen aktueller Systemdynamik und durch 'ahrte', viel klassisches Material intergrierende Methodik."
Jahresbericht der Deutschem mathematiker Vereinigung 103/3
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